年前后，高斯的学生、学生库默尔运用独创的“理想素数”理论，一下子证明了100以内除37、59、67以外的所有奇数费马大定理都成立，使证明问题取得了第一次重大突破。
1922年，英国数学家莫德尔提出一个着名猜想，人们叫做莫德尔猜想．按其最初形式，这个猜想是说，任一不可约、有理系数的二元多项式，当它的“亏格”大于或等于2时，最多只有有限个解．记这个多项式为f，猜想便表示：最多存在有限对数偶xi，yi∈q，使得f=0。后来，人们把猜想扩充到定义在任意数域上的多项式，并且随着抽象代数几何的出现，又重新用代数曲线来叙述这个猜想了。
二战后随着计算机的出现，大量的计算已不再成为问题。借助计算机的帮助，数学家们对500以内，然后在1000以内，再是以内的值证明了费马大定理，到80年代，这个范围提高到，然后是400万以内。
1983年，德国数学家法尔廷斯证明了莫德尔猜想，从而翻开了费马大定理研究的新篇章．法尔廷斯也因此获得1986年菲尔兹奖。
1955年，日本数学家谷山丰首先猜测椭圆曲线与另一类数学家们了解更多的曲线——模曲线之间存在着某种联系；谷山的猜测后经韦依和志村五郎进一步精确化而形成了所谓“谷山—志村猜想”，这个猜想说明了：有理数域上的椭圆曲线都是模曲线。这个很抽象的猜想使一些学者搞不明白，但它又使“费马大定理”的证明向前迈进了一步。
1958年英国数学家birch和s）函数，他们对该函数
第一百八十五章 成功证明(3/7)